超级电容技术文档
1.需求确定
RoboMaster底盘限功率的意义与实际作用是什么？
1.1总体需求
超级电容模块作为电源到底盘电机中间的功率控制模块，要求完成以下任务：
①限制电源的输出功率，做到功率实时监控和动态调整。
②利用电机组功率消耗的谷值时间给超级电容组充电，以达到能量合理分配和利用的目的。
③实时汇报给操作手超级电容当前电量，方便操作手进行调整。
1.2具体需求
电路主要分为三个大类：Ⅰ.电源线路 Ⅱ.检测线路 Ⅲ.控制电路
① 电源线路
Ⅰ.BUCK降压转换器：通过控制转换器输出电压来限制输出功率，达到控制输入功率目的（必需）
Ⅱ.BOOST升压转换器：将电源升压给超级电容充电（必需）
Ⅲ.各个芯片的供电电源模块（必需）
②检测线路
Ⅰ.电流检测模块：总的输入和输出电流（必需）
Ⅱ.电压检测模块：输入电压，输出电压和超级电容电压（必需）
③控制电路
把检测电路得到的数据输入给STM32芯片，通过运算输出控制量
Ⅰ.计算输入和输出功率（必需）
Ⅱ.使用输入功率与当前等级的限制功率比较，计算BUCK转换器的PWM的占空比（必需）
Ⅲ.使用电容电压计算其剩余电量，发送给操作手，由他控制超级电容放电（必需）
Ⅳ.使用输出功率与一定值作比较，和电容电压共同控制超级电容的充电（必需）
附图：PowerTree
2.电路参数实际计算
2.1BUCK转换器效率分析
非同步BUCK电路图
实际转换效率75%左右，同时电压有明显波动，但对电机的运动未造成巨大影响（也可能受实验参数限制，未观察出影响）
分析：由于测试所使用电路相当简单，不存在电路本身结构造成功率损失的问题。于是将问题矛头指向MOS管，二极管和电感这三个元件造成的损耗。
测得MOS管IRFP250N的$R_{DS(ON)}$在75mΩ左右，二极管10A10的$V_F$最大为1V，铁氧体芯电感(双1.2线，10mH)的$DCR$在110mΩ左右。
计算MOS管的损耗：
MOS管在1KHz频率下的主要损耗为： $$ P_D=P_{CON}+P_{SW_OPEN}+P_{SW_CLOSE}\quad(2-1-1) $$ 其中$P_{CON}$为导通损耗，$P_{SW_OPEN}$为开通损耗，$P_{SW_CLOSE}$为关断损耗
$P_{CON}$的计算通式为（取占空比的中间值的导通损耗为准）： $$ P_{CON}=I_{DS}^2·R_{DS(ON)}·D=1.75^2\times0.075\times0.875\approx0.1148W\quad(2-1-2) $$ $P_{SW_OPEN}$，$P_{SW_CLOSE}$的计算过程若是较真起来会相当复杂，这里先采用近似最坏假设计算： $$ \begin{aligned} P_{SW_OPEN} & =\frac{1}{2}\cdot V_{DS}\cdot I_{DS}\cdot (T_r+T_{d(ON)})\cdot f\ & =\frac{1}{2}\times1.75^2\times0.075\times1000\times(14+43)\times10^{-9}\ & =0.0065mW \quad(2-1-3) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} P_{SW_CLOSE} & =\frac{1}{2}\cdot V_{DS}\cdot I_{DS}\cdot (T_f+T_{d(OFF)})\cdot f\ & =\frac{1}{2}\times1.75^2\times0.075\times1000\times(41+33)\times10^{-9}\ & =0.0085mW \quad(2-1-4) \end{aligned} $$
其中$V_{DS}$为导通压降，$I_{DS}$为平均电流，$T_r$，$T_{d(ON)}$，$T_f$和$T_{d(OFF)}$分别为上升时间，开通延迟时间，下降时间和关断延迟时间。
总损耗： $$ P_D=P_{CON}+P_{SW_OPEN}+P_{SW_CLOSE}=0.1148+(0.0065+0.0085)×10^{-3}≈0.1148W\quad(2-1-5) $$ 计算二极管的损耗：
这里以二极管的最大损耗为准：
$$ P_D=V_F·I_F·(1-D)=1×1.75×(1-0.75)=0.4375W\quad(2-1-6) $$ 其中VF为导通压降，IF为导通电流，D为占空比
计算电感的损耗：
电感的铜损： $$ P_{Cu}=I_F^2·DCR=1.752×0.11≈0.3369W\quad(2-1-7) $$ 其中IF为导通电流，DCR为电感直流电阻
电感的铁损：
注意：这里的公式是大量简化后得到的,同时忽略了涡流损耗，原因是电感体积较小，具体分析根据文献[1]。实际计算公式是基于 Steinmetz方程修正得到的，但该修正方程的参数难以获得，故使用简化方程。
假设电路工作在CCM（电流连续）模式下，仍然以占空比中间值计算，则 $$ 励磁B_{PP}^+=\frac{(U_i-U_o )·D·T}{N·Ae}=\frac{(24-21)×0.875×1×10^{-3}}{28×(31-19)×13×10^{-4}}≈6.0096×10^{-3}Wb\quad(2-1-8) $$
$$ 退磁B_{PP}^-=\frac{U_o\cdot (1-D)·T}{N·Ae}=\frac{21×0.125×1×10^{-3}}{28×(31-19)×13×10^{-4}}≈6.0096×10^{-3}Wb\quad(2-1-9) $$
$$ P_{Fe}=B_{PP}^2·f=(6.0096×10^{-3})^2×1000≈0.0361W\quad(2-1-10) $$
$B_{PP}^2$为磁通变化量，D为占空比，T为周期，N为匝数，$A_e$为磁芯横截面积，$U_i,U_o$分别为输入电压和输出电压，$f$为频率
$$ P_D=P_{Cu}+P_{Fe}=0.3369+0.0361=0.3730W\quad(2-1-11) $$ 综上，可知二极管的损耗是最大的，是由其不可忽略的导通压降带来的。
但，这不意味着其它两个元件的损耗也是可以忽略的，我必须认识到，这里的频率只有1kHz，属于低频。
根据MOS管计算损耗的公式可知，其损耗会随着开关频率的升高而升高，具体体现在开通损耗$P_{SW_OPEN}$和关断损耗$P_{SW_CLOSE}$，虽然现在这两个值可以忽略不计，但我要往高频化方向发展时，这两个量会变得相当可观。
根据电感计算损耗的公式，同样可知，其损耗也会随频率的升高而升高。庆幸的是，根据文献[1]，铁损在占空比D大于0.5的情况下损耗低于小于0.5的情况。
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要说明的一点，电感的损耗计算可能误差会较大，市面上的电感本身标称误差就在±20%，且电磁场也是让分析变得难上加难。不过无妨，分析的过程本身是绝对正确的，可以一定程度反应实际情况，方便指导今后工作。而且，我在下面会介绍更好的器件损耗计算方法。
最后，不通过计算，还有一种方法可以大致得知哪个元件损耗最大，即连通电源和负载后，放在桌面上半个小时，用手摸哪个发烫严重便可判断。
2.2主要参数计算
查询过多方资料，得知这种非同步BUCK转换器的转换效率普遍不高，做得好的一般在80%以上。最后，在TI公司的资料里了解到同步BUCK转换器，通过替换二极管为MOS管大幅度减低导通压降。
同步BUCK电路图
②提高开关频率，可以减小电感体积，提高能量密度，改善动态响应。（换用外径20mm的电感，原来的为31mm。）
③采用软开关技术，减小由提高频率带来的开关损耗增加的问题。（尚未考虑周全，且计划先提升至10kHz，不算高频。）
2.2主要参数计算
电感量$L$：L越大，储能能力越强，纹波越小，所需的滤波电容也就小。但是L越大，通常要求电感尺寸也会变大，DCR增加，导致DC-DC效率降低，相应的电感成本也会增加；
自谐频率$f_0$：由于电感中存在寄生电容，使得电感存在一个自谐振频率。超过此$f_0$时，电感表现为电容效应，低于此$f_0$，电感才表现为电感效应（阻抗随频率增大而增加）；
直流电阻$DCR$：指产品电极之间所用漆包线的总的直流电阻，根据$W=I^2R$，DCR可造成能量损耗， 降低DC-DC效率，也是导致电感发热的主要原因；
交流电阻$R_{AC}$：指电感量在指定频率下的电阻值，主要由电感线圈的直流电阻（交流下的集肤效应）、磁芯损耗以及介电损耗等组成，$R_{AC}$越大，Q越小；
饱和电流$I_{sat}$：通常指电感量下降30%时对应的DC电流值；
温升电流$I_{rms}$：通常指是电感表面温度上升40℃时的等效电流值；
这里我主要考虑$L,DCR,I_{sat},I_{rms}$，优先选择$L$，后三个主要和所用线的线径有关。
2.2.1电感
电感值选用规则和计算公式：
当MOS管打开时，电感电流线性上升，当MOS管关断时，电感电流线性下降，电感电流最大和最小值之差为电感纹波电流，该值也可以用输出负载电流乘以一个电流纹波系数r表示，即：
$$ ΔiL=\frac{(U_i-U_o )·D}{L_{临界}·f}=I_{out}·r\quad(2-2-1) $$ r一般在 0.3~0.5 之间。这里，我引入了一个重要的参数电流纹波系数r。为什么在算电感量之前要引入该参数？因为我要明确告诉后来人，这个参数远比电感值本身重要。
电流纹波系数r（参考文献[3]）：
定义： $$ r=\frac{∆I}{I_L}≡2×\frac{I_{AC}}{I_{DC}}\quad(2-2-2) $$ 式（2-2-2）表示了电感电流的交流分量与直流分量的几何比例。其中$\Delta I=2\times I_{AC}$，一旦r确定，其他的所有参数几乎都能确定，因此，r值一定要清晰理解，仔细选择。
电流纹波率r只适用于连续导通模式，有效值范围为0~2。显然，r=0时，电感无穷大，电流无波动，r=2时，转换器处于临界导通模式。我们当然希望输出的电流和电压都能平稳，所以，r值的取值便更偏向于取小。（r并非越小越好）
在功率变换的计算中，我们通常用伏秒积表示电感在开关管开通关断过程中能量守恒。将式（2-2-3）代入式（2-2-2），得式（2-2-4）（2-2-5）：
$$ u=L\frac{di}{dt}\quad(2-2-3) $$
$$ r=\frac{∆I}{I_L}=\frac{E·t}{L·I_L}≡\frac{V_{ON}·D}{L·I_L·f}≡\frac{V_{OFF}·(1-D)}{L·I_L·f}（所有拓扑）\quad(2-2-4) $$
$$ L=\frac{V_{ON}·D}{r·I_L·f}\space 或\space L·I_L=\frac{E·t}{r}\quad(2-2-5) $$
其中$I_L$为电感电流，$V_{ON}$为开关管开通时的电感电压，$V_{OFF}$为关断时电感电压
最后，说明为何这个系数如此重要——因为它是基础量。实际情况中，L的取值由工况，开关频率，甚至是拓扑本身决定的。因此无法直接计算L。但是存在r值的一般设计经验，并已被广泛应用。
任何情况下，r值都在0.3~0.5之间，其通常最优值为0.4，但不绝对，我就选了0.2。原因：电感尺寸没办法继续缩小了，纹波率太大反而增大滤波电容体积。（注：内容繁多，这只是相当简单的介绍，攫取了其中能快速解决问题的知识。）
按照式（2-2-5）选择电感值，这里$D_{max}=U_o/U_{i_MIN}$
为最大占空比计算值，对于BUCK电路，存在固有的最大占空比$D_{max}$，实际计算时选择两者中的较小值。 $$ L_{min}=\frac{(U_{i_MAX}-U_o)·D_max)}{I_L·r·f}=\frac{(25-18)×18}{2.2×0.3×23.5×10×10^3 }≈1.219mH\quad(2-2-6) $$
$$ I_{Lpeak}=I_L·(1+\frac{r}{2})=7×(1+\frac{0.2}{2})=7.7A\quad(2-2-7) $$
以上电感值是计算值最小值，随之得到的饱和电流$I_{Lrms}$和峰值电流$I_{Lpeak}$是最小值。按照工程上的要求，考虑到市面上的电感的标称值的误差通常在±20%，还考虑到当电感电流达到饱和电流时，电感值会下降25%，即： $$ L_{chosen}=\frac{L_{min}}{0.8×0.75}=\frac{1.219}{0.8×0.75}≈2.032mH\quad(2-2-8) $$ 因此，我们只要选用比$L_{chosen}$大的，满足峰值电流$I_{Lpeak}$条件的电感。最后我决定选用2mH 1.2线的功率电感（DCR=11.55mΩ）。
电感损耗计算：
$$ P_{Cu}=I_L^2·DCR=5^2×11.55=288.75mW\quad(2-2-9) $$
$$ P_{Fe}=B_{PP}^2·f=(14.9148×10^{-3})^2×10^4≈2.2245W\quad(2-2-10) $$
$$ P_D=P_{Cu}+P_{Fe}=0.28875+2.2245=2.5133W\quad(2-2-11) $$
此外，我还推荐TI公司的一款软件Power Stage Designer Tool 4.0，该软件提供了相当全面的电路图。TI毕竟是业界的龙头，开关电源做得很好，很多资料都可以参考他们的。
2.2.2电容
输入、输出滤波电容选用规则和计算公式（参考文献[2]）：
输出电容参数分析：
$C_o$很大的话，可以保证输出电压近似恒定，但是$C_o$很大会导致体积和成本更大。因此实际中根据容许的输出电压纹波来选择$C_o$的值。
设计时总是按照电感电流谐波全部进入$C_o$，恒定分量进入负载（如果带阻性负载，在闭环电路的控制下，输出电压恒定，确实是这样的）。电感电流$i$的谐波进入电容，由电容的寄生电阻$ESR$、寄生电感$ESL$，和$C_O$值决定电压纹波的。
对于低于500kHz的谐波，$ESL$产生的电压纹波可以忽略。因此，输出电容中由$ESR$和$C_O$决定纹波电压分量。由$ESR$产生的纹波分量正比于电感电流纹波分量，由$C_O$决定的纹波分量与流过电容的电流积分成正比。这两个分量相位是不同的。
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另外，由于电容的$ESR$值对开关电源来说是一个很重要的值，过大会造成严重的电压尖峰，电容发热，电容失效等问题。通常，普通铝电解电容的$ESR$会达到欧姆级别。这里，我均选用贴片固态铝电解电容的$ESR$值（50mΩ：大致包括导线）计算。
输出电容参数计算：
此处设置的任务是同时满足下述三个约束条件（可自行调节）。
（1）最大输出纹波峰峰值小于输出电压的1%，即
$$ V_{o_RIPPLE_MAX}=1\%·U_{o_MAX}=1\%×23.5=0.235V $$ （2）负载突增时，可接受的最大电压下垂量为：$∆V_{DROP}=1.175V$
（3）负载突增时，可接受的最大超调量为：$V_{OVERSHOOT}=1.175V$
先计算选用的电感后的电流纹波率（式（2-2-9））和输出电流纹波峰峰值（式（2-2-10））：
$$ r_{Ui_MAX}=\frac{(U_{i_MAX}-U_o )·D_{max}}{I_o·L_{chosen}·f}=\frac{(25-18)×18}{2.2×2×10^{-3}×23.5×10×10^3}≈0.12\quad(2-2-9) $$
$$ I_{o_RIPPLE_MAX}=I_o·r_{Ui_MAX}=2.2×0.12=0.2640A\quad(2-2-10) $$
得出电容寄生电阻ESR最大值，基于最大输出纹波：
$$ ESR≤\frac{V_{o_RIPPLE_MAX}}{I_o·r_{Ui_MAX}} =\frac{0.235}{2.2×0.12}=0.8902Ω\quad(2-2-11) $$ 根据图2，电感电流在平均值以上的部分为滤波电容充电，其面积为$\Delta S$，输出电容充电量$\Delta Q$，根据能量守恒，$\Delta S=\Delta Q$，通过式（2-2-12），（2-2-13），得到式（2-2-14）：
$$ ΔS=\frac{1}{8f}·I_{o_RIPPLE_MAX}\quad(2-2-12) $$
$$ ΔQ=C_o·V_{o_RIPPLE_MAX}\quad(2-2-13) $$
$$ C_{o_1}≥\frac{1}{8f}·\frac{I_{o_RIPPLE_MAX}}{V_{o_RIPPLE_MAX}}=\frac{1}{8×10^4 }×\frac{2.2×0.12}{0.235}=14.0425μF\quad(2-2-14) $$
同时，当负载发生变化时，假定输出电压需要2~3个开关周期返回到正常输出值，这段时间内不希望电压跌落至某一值。由$I=C\frac{di}{dt}$，基于最大电压下垂量，可得式（2-2-15）： $$ C≥\frac{I_o·∆t}{V_{o_RIPPLE_MAX}}=\frac{2·T·I_o}{∆V_{DROP}}=\frac{2·I_o}{∆V_{DROP}·f}\quad(2-2-15) $$ 此处的下垂量与额外负载需求相关，因为正常负载需求在每个周期里都会被满足，电压不会下降。所以，此处的电流实际上对应增加的负载。
$$ C_{o_2}≥\frac{2·∆I_o}{∆V_{DROP}·f}=\frac{2×\frac{5}{2}}{1.175×10^4}=425.5319uF\quad(2-2-16) $$ 最后，基于最大超调量，采用另一个标准：负载从最大负载$I_o$突变至0，所有的电感能量倾泻到输出电容中，升压到$V_X$，同样，根据能量守恒，由式（2-2-17）推导出式（2-2-18）。
$$ \frac{1}{2}·C·(V_x^2-V_o^2 )=\frac{1}{2}·L·I_o^2\quad(2-2-17) $$
$$ C≥\frac{L·I_o^2}{(V_x+V_o)·(V_x-V_o)}≈\frac{L·I_o^2}{2·V_o·∆V_{OVERSHOOT}}\quad(2-2-18) $$
$$ C_{o_3}≥\frac{2×10^{-3}×5^2}{2×24×1.175}≈886.5248uF\quad(2-2-19) $$
输出电容损耗计算：
输出电容有效值电流计算：
$$ I_{Co_RMS_MAX}=I_o·\frac{r_{Ui_MAX}}{\sqrt{12}}=2.2×0.12/\sqrt{12}=76.2102mA\quad(2-2-20) $$
$$ I_{Co_RMS_MIN}=I_o·\frac{r_{Ui_MIN}}{\sqrt{12}}=2.2×0.096/\sqrt{12}=60.9682mA\qard(2-2-21) $$
功耗计算：
$$ P_{Co_MAX}=I_{Co_RMS_MAX}^2·ESR=76.2102^2×0.05=0.2904mW\qard(2-2-22) $$
$$ P_{Co_MIN}=I_{Co_RMS_MIN}^2·ESR=60.9682^2×0.05=0.1859mW\quad(2-2-23) $$
输出电容损耗取最恶劣情况做参考。
综上，理论的输出电容值$C_o$为400uF，值得说明的一点，以上的计算均为理论推算，参数也有选取上的偏差。但是，不妨碍我们选电容，理论为400uF，①我们可以选470uF的电容，②也可以选用两个220uF并联，甚至是多个并联，这里，我推荐后一种，这样就算是高$ESR$电容，两个并联也可以有效减小$ESR$值，同时耐压值比最大电压高出20%~50%。
我选择330uF 50V贴片固态电解电容，三个并联。
输入电容参数计算：
输入电容一般要保证输入电压纹波峰峰值保持在输入电压的5%~10%以下，因此输入电容也会影响BUCK电路的工作稳定性。
由于我们是使用锂电池，所以这个输入电压纹波值较小。不过还是给出一个值：要求输入电压纹波峰峰值为2%，同时也是防止电压纹波从输出端口传递到输入端口造成干扰。假设输入电压最高时，纹波最大。将式（2-2-24）（2-2-25）求得输入电压纹波峰峰值$V_{RIPP_PP_MAX}$和最大输入电压下，对应输出电压的占空比$D_{IEADL_UI_MAX}$代入式（2-2-26）。 $$ V_{RIPP_PP_MAX}=2\%·U_{i_MAX}=2\%×25=0.5V\quad(2-2-24) $$
$$ D_{IDEAL_Ui_MAX}=\frac{U_O}{U_{i_MAX}} =18/25=0.72\quad(2-2-25) $$
$$ \begin{aligned} C_i & ≥\frac{I_o·D_{IDEAL_Ui_MAX}·(1-D_{IDEAL_Ui_MAX})}{f·{V_{RIPP_PP_MAX}-ESR·I_o·[1+(0.5·r_{Ui_MAX}]}}\ & =\frac{2.2×0.72×(1-0.72)}{10^4×{0.5-0.05×2.2×[1+(0.5×0.12)]}}≈115.6808uF \end{aligned}\quad(2-2-26) $$
输入电容损耗计算：
输入电容有效值电流计算：
$$ \begin{aligned} I_{Ci_RMS_MAX} & =I_o·\sqrt{D_{IDEAL_Ui_MAX}·(1-D_{IDEAL_Ui_MAX}+\frac{r_{Ui_MIN}^2}{12})}\ & =5×\sqrt{0.96×(1-0.96+0.015^2/12)}\ & =0.9800A\qquad(2-2-27) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} I_{Ci_RMS_MIN} & =I_o·\sqrt{D_{IDEAL_Ui_MIN}·(1-D_{IDEAL_Ui_MIN}+\frac{r_{Ui_MAX}^2}{12})}\ & =2.2×\sqrt{0.7660×(1-0.7660+0.12^2/12)}\ & =0.9338A\qquad(2-2-28) \end{aligned} $$
其中$r_{Ui_MAX}$与计算$C_o$时的$r_{D_MAX}$是一样的，$r_{Ui_MIN}$与$r_{D_MIN}$同理（上述两式对应两种$U_o$）
$$ P_{Ci_MAX}=I_{Ci_RMS_MAX}^2·ESR=0.9800^2×0.05=48.0200mW\quad(2-2-29) $$
$$ P_{Ci_MIN}=I_{Ci_RMS_MIN}^2·ESR=0.9338^2×0.05=43.5991mW\quad(2-2-30) $$
输入电容损耗取最恶劣情况做参考。
因此，我选择82uF 35V贴片固态电解电容，两个并联。
电容的种类繁多，开关电源电路推荐多层式陶瓷电容（MLCC），固态电容，钽电容，铝电解电容。推荐度按顺序递减，自己查阅相关参数便会明白原因。
最后，必须要说明的一点，对于BUCK和BUCK-BOOST电路，输入电容的最大有效值电流出现在D=0.5，对于BOOST电路，这个值是1，但是工程上占空比不超过0.9。因此，上述计算的取值都是偏向D=0.5。
以上便是超级电容主要的设计思路和理论分析过程。
2.2.2效率
2.3BOOST变换器
BOOST变换器计算方法与BUCK变换器大同小异，这里暂不赘述。
参考文献：
[1] 周岩,张俊波,陈麒米.开关变换器功率电感磁损建模及应用[J]. 电力自动化设备,2017,37(11):132-135.
[2] 马文超. BUCK电路外围器件参数选型分析[J]. 电子与封装,2019,19(12):30-31.
[3] Sanjaya Maniktala.Switching Power Supplies A-Z,2E[M]. Beijing: The Posts and Telecommunications Press,2015:47-80.
作者：陈李萱
